摘 要：建立了空心楼板在弹性阶段基于孔格单元的平截面假定，通过大量有限元试验得到基于平截面假定的等效刚度计算方法和参数，讨论了用于计算双向板的方法和产生的误差。

关键词：空心楼板； 孔格单元抗弯刚度； 变形不均匀性调整系数

中图分类号：TU528.1/7
文献标识码：B
文章编号：1008-0422（2007）08-0061-04

收稿日期：2007-05-21
作者简介：尹峰（1969-），男（汉族），湖南长沙人，工程师。

　　1　引言
　　 现浇混凝土空心楼盖是一种新的楼盖结构形式，从上世纪九十年代开始，在国内兴起并广泛使用。应用中最大的困难是空心楼盖的内力分析与楼板截面设计。在已有的研究[1][2][3][4]中一般通过有限元分析或实验得到空心板工作特点，考虑了横孔方向的不均匀变形，但尚未提出计算两向刚度和结构设计的概念清晰而又方便统一的方法。　
　　 2004年中国建筑科学研究院主编了CECS 175:2004《现浇混凝土空心楼盖结构技术规程》，《规程》推荐的空心楼板的内力分析方法是建立在弹性分析基础上的拟实心板法、拟梁法，计算无梁楼盖的等代框架法和直接设计法。上述空心楼板的内力分析方法的基础是对空心板两向刚度的计算。
　　 本文提出了孔格单元抗弯刚度概念，先用平截面假定得到横孔方向抗弯刚度，再推出了用调整系数考虑实际弹性分析中孔上下部分与孔间部分变形不均匀性来计算板抗弯刚度的公式，然后用有限元法得到常用空心板的调整系数，在空心板挠度计算中证明了这种方法的可行性。

　　2　横孔板纯弯应力分布特点与等效平截面假定
　　 从详细的弹性分析[8]可以得到横孔板在纯弯状态的应力分布，图1表示圆孔上下端处板截面（板截面最小处）的应力σx分布以及圆孔之间肋的应力σx分布，图2表示圆孔边缘的应力σθ分布。
　　 从图1图2可以看出，圆孔板各个截面的应变都不符合平截面假定。本文从能量原理出发拟将圆孔板各个截面的应变等效成为平截面转动，按垂直x轴每一平截面处的形变势能相等的原则定义了等效转角θe，见式（1）略。
　　 从弹性有限元分析可得到每个截面的等效转角，见图5。图中θ1是截面平均等效转角，在一个圆孔和一个肋的范围，板截面等效转角完成了一个大小变化的周期，本文把这样一个圆孔和一个肋的范围称为一个孔格单元。一般在均布竖向荷载和纯弯状态，在每一个孔格单元，板截面转角变化的范围相同，总的转角相同。由于实际的空心楼板中，每一个孔格单元长度相同，而且孔格单元的长度相对于板跨度很小，因此可以假定在板纯弯和受均布竖向荷载下，板的应变也符合平截面假定。这样，我们避开了分析有孔板复杂应力的困难，而可以把空心板当成匀质板，直接采用材料力学中的基于平截面假定的内力和位移的计算公式。
　　 下面的分析都基于孔格单元的平截面假定。

　　3　孔格单元等效刚度的建立
　　 3.1下面以圆孔板为例讨论基于弹性阶段的管状空心板顺孔和横孔两个正交方向的刚度。
　　 顺孔道方向单位宽度板截面的抗弯刚度：
　　 分析的几个前提：材料完全弹性，横孔方向的板带在截面上的应力-应变关系符合平截面假定，中性轴在截面中央，忽略钢筋的作用，弯矩在一个孔格（d+s）不变，忽略剪力影响，孔在板中贯通。
　　 根据材料力学容易得到：
　　 (式略)
　　 垂直孔道方向单位宽度板截面的抗弯刚度：
　　 抗弯刚度是截面在发生单位转角时截面上的弯矩M。
　　 (式略)
　　 孔格平均刚度的概念：ε(x)沿着板跨方向变化，有孔处截面受削弱应变较大，没有孔处由于全截面受力应变较小。在一个孔格d+s长度内平均应变：
　　 (式略)
　　 本文把(5)式左边Ie称为横管方向孔格单元等效刚度，它表示空心部分对板的内力和变形的影响只是局部的，可以在宏观上把带孔的板等效成实心均匀的板。上式右边积分当为方孔时容易计算，当为园孔或椭圆孔时不能积分得到显式，可用数值方法计算。相应的（2）式左边称为顺管方向孔格平均刚度。
　　 基于孔格单元的弹性有限元分析，本文用通用平面有限元程序采用4节点等参元模拟试验了多种板厚和肋宽的空心板（图2），求得M-Θ关系，求得等效惯性矩与式（4）的计算结果比较见表。
　　 弹性有限元试验发现应力集中发生在圆孔上下顶点，在肋靠近板顶板底应力较大，在板厚的中部应力明显较小，不满足平截面假定。
　　 由于空心板受弯总体上符合平截面假定这一点与式（4）相一致，式（4）又有原理简单明了的优点，因此考虑采用式（4）作为设计的方法。于是在式（4）增加调整系数kd、kS来反映把截面变形等效成为平截面的过程（见式6），通过回归分析，求得板孔上下部分和孔间肋部分的调整系数kd=1.0553 ，kS=0.6583 ，这样就可以按（6）式方便求得弹性状态的孔格单元准确的等效惯性矩了。　
　　 类似可以得到方孔空心板的kd=0.9562 kS=0.9859 。从表1表2可见式（6）计算结果与有限元计算结果对比有较高精度，可满足工程设计要求。
　　 (式略)
　　 3　孔格单元等效刚度用于双向板计算
　　 空心板计算一般有板壳弹性分析法、拟梁法（又称条带法、虚拟交叉梁法）。
　　 3.1板壳弹性分析法：实际工程设计时，一般可采用通用有限元程序的板壳单元进行空心板数值分析。由于空心板在宏观上的正交各向异性，可以通过调整各向异性板壳的弹性模量表示空心板的各向异性。
　　 均布荷载作用下的四边简支正交异性薄板的挠曲微分方程[5]：
　　 (式略)
　　 这样就可根据式（11）及式（5）（6）推导出的板各点的弯矩和挠度计算式分析空心板。
　　 3.2拟梁法是把板分成为纵横各数条虚拟正交梁，按井字梁计算，可得到板的两向弯矩和挠度。虚拟梁高一般取与板厚相同，每个方向梁宽之和等于板宽。拟梁法把板平面内所有点的位移平衡简化为虚拟梁交点的位移平衡，因而虚拟梁越密精度越高。拟梁法用于计算空心板时，要根据刚度相等的原理把虚拟梁刚度进行折减，为计算方便，把梁宽乘以刚度折减系数而不直接折减弹性模量。拟梁法是实际工程中采用较多的空心板计算方法，规程[5]也有根据有限元分析的圆孔板刚度折减系数规定，但对其他孔型的空心板没有规定也没有统一的计算公式，使设计方孔或扁圆孔空心板时的精度没有保证。
　　 本文对每块试验板建立10x10条虚拟梁，梁宽用通用有限元程序计算，计算结果见表3。
　　 3.3双向空心板有限元试验
　　 下面是以板厚300~400mm的圆孔和方孔空心板为例，支承条件：四边简支，板面均布荷载q=1kN/m2，用通用有限元计算程序分别用梁单元、板单元和块体单元建模计算。计算结果见表3。
　　 数值试验结论：按本文方法计算两向刚度结合拟梁法和板元有限元法计算的板挠度与块体有限元计算结果接近。

　　4　结 论
　　 4.1数值试验结果说明本文建立的现浇空心板基于孔格单元的抗弯刚度计算方法是正确的，有一定的精度可满足工程要求，而且计算简便。
　　 4.2本文方法计算的板弯矩是板孔格单元的弯矩，是板截面的名义弯矩，不能直接用来计算配筋。空心板配筋计算方法还需进行弹塑性研究和实验。
　　 4.3现浇混凝土空心板的两向弹性刚度是不相等的。两轴刚度和刚度比主要受孔形状，肋宽比孔边长（直径），板厚比孔边长（直径）三个因素控制。
　　 4.4按本文方法可以得到圆孔、方孔、长方孔、扁圆孔等多种孔形的空心板的调整系数kd、kS，因此本文方法适用面广。

参考文献：
[1] 高仲学等.无柱帽混凝土空心无梁楼盖的设计与研究.工业建筑，2003(02).
[2] 黄晓晖等.无柱帽空心无梁楼盖设计中若干问题的探讨.建筑科学 ，2002(03).
[3] 陈静茹等.现浇钢筋混凝土空心无梁楼盖设计弯矩分析.武汉理工大学学报，2002(07).
[4] 张瀑等.现浇混凝土空心楼板模拟试验研究.四川建筑，2003-08(23).
[5] 现浇钢筋混凝土空心无梁楼盖结构技术规程.CECS 175:2004.中国计划出版社.
[6] [美]C.P.Heins 著，吴肇之译.实用薄板理论.人民交通出版社，1982-01.
[7] 张华刚等.现浇钢筋混凝土空心板楼盖的连续化分析.空间结构，2004-12.
[8] [日]西田正孝著.应力集中.机械工业出版社，1986-12（1）.

作者单位：长沙市城建科研所